看涨期权的上下限边界

   上限
   某股票现在的价格是5.2元，对应的认购期权还有105天到期，无风险利率为2%，行权价格为5的实值认购期权（对于虚值认购期权，后面得到的结论一样），隐含波动率约18%，根据B—S定价模型计算，则理论价格约等于0.31元。假设某个投资者非常看好该股票，认为在未来的105天内将上涨到15元，那么这个投资者即使是花6元也还是有利可图的。如果真如其预期涨到15元，投机者还可以赚15-6-5=4（元）。对于卖权者而言，如果能够以6元的价格卖出行权价为5元的看涨期权，这个时候就可以从得到的6元中拿出5.2元来买进股票，多出来的0.8元就是收入。如果后市股票涨过5元卖权者把原先买入的股票交给买着，卖权者获得0.8元（还没算资金利息），如果低于5元，假如为3元，期权作废，卖权者获得3.8元。所以不管后市行情怎么运行，卖权者都至少可以获得0.8元的无风险收入。这种期权价格肯定就不合理，因为如果是这样的价格，先不考虑资金占用多少，投资者还不如直接买入股票。
   从这个例子可以看出，对于认购期权C有它的价格上限，为标的资产的价格S，一旦超过这个价格，就存在无风险套利机会。所以，C≤S。
   下限
   毫无疑问，期权价格的下限怎么都不会为负数，肯定是大于0的，这就跟去买保险一样，保险公司不可能不收钱就送你一个保险还倒贴钱。期权是具有时间价值的，再怎么虚值的看涨期权只要还没到期，都有时间价值。所以，期权的下限价格等于0，但是在实际交易中，交易所是会规定最小变动价位作为最低报价，比如白糖、豆粕期权的最低价格是0.5元/吨。如果还将手续费考虑进去，那么此时比如白糖期权的最低价格就是0.65元/吨（如果考虑到平仓出场，则为0.8元/吨）。最初的白糖手续费是3元，作为买权者想赶在到期前两天买点深虚是需要考虑这个交易成本，0.5元最低买进来按照原价卖出去，最后还得亏损1元。
   期权的时间价值其实是通过公式倒推计算出来的，并不是用时间做因变量算出来的。那么，在实际交易中到底有没有可能出现时间价值为负的情况呢？还真有可能存在，中国刚推出的白糖期权T型报价表上盘中就曾出现过。再看上限中提到的例子，实值部分是0.2，如果时间价值小于0，此时看涨期权C小于0.2，那么这个时候可以进行的操作就是买进期权同时融券卖出股票进行无风险套利。融券卖出得到5.2，扣除支付的权利金，剩下5.2-C，105天后得到<Z:\KT2018\180625d1.tif>。期权到期时，股票价格高于5，行权拿到股票还券，此时损益<Z:\KT2018\180625d1.tif>-5,由于C＜0.2，很容易就可以证出这个数值肯定大于0；如果到期时股票价格低于5，认购期权没用，融券者用低于5的市场价买入股票还券，此时收益<Z:\KT2018\180625d1.tif>-S，由于C＜0.2，而S＜5，将前面算式拆分很容易看出<Z:\KT2018\180625d1.tif>-S＞0，而且这个值会比<Z:\KT2018\180625d1.tif>-5这个值更大。
   所以，实值认购期权的理论下限为C=S-Xe-r×（T-t），其中C为认购期权价格，S为标的资产价格，X为行权价，r为无风险利率，（T-t）为期权剩余时间，后文符号意思相同。
   边界图
   下图中，在行权价X左边S＜X，对应的是虚值期权，而右边则相反。C=S为期权的上界，对于虚值期权，C=0为期权下边界，对于实值期权，C=S-Xe-r×（T-t）为期权下边界，上下边界之内为看涨期权价格合理区域，区域外即为无风险套利区域。

   图为看涨期权的上下边界

  看跌期权的上下限边界

   上限
   还是前面那个例子，对于行权价为5元的看股票看跌期权，理论上其价格最高不能超过多少呢？很简单，对于欧式期权最高不会超过行权价5元，一旦超过这个价格，正常人都不会去买这样的期权，因为即使股票下跌到极限甚至到退市也就变为0而已，那么这个赔付额肯定小于付出的权利金。从这里可以得出看跌期权P≤X。
   严格来讲，如果P=X，卖出看跌期权者仍然可以获得无风险利润，卖出期权时可以立马得到一笔权利金，而资金是有计息收益的，将这笔钱放贷出去，按无风险利率算，在期权到期时可以得到的本利和是Per×（T-t），这里的例子中将数据代入计算，得到结果5.0288。期权到期是，股票价格大于5元，看跌期权不会被行权，卖出者获得收益就为5.0288；到期时股票价格S小于5元，接受行权，花5元买进股票，然后再将股票卖出得到S，最后的收益为S+0.0288,我们知道，股票再怎么跌除非跌到退市，不然这个S是大于0的，即使等于0，卖出看跌期权者也能得到0.0288的无风险收益。那么，价格需要继续调整到多少才会使得无风险收益不存在？从分析中可以看出，应该是P≤Xe-r×（T-t），一旦P＞Xe-r×（T-t），就会存在无风险收益。
   下限
   跟前面看涨期权的分析一样，看跌期权同样有时间价值，对于虚值期权和平值期权，由于它们都没有内在价值而只剩时间价值，时间价值不会小于0，所以看跌期权的下限就是P=0。而将交易手续费和交易所规定的最小报价考虑进去，这个下限就肯定是比0要高的一个值。对于实值期权，再用文中的例子，但是此时的选择行权价为6元的看跌期权，实值度为6-5.2=0.8，时间价值则为P-0.8，如果时间价值小于0，意味着P＜0.8，这个时候我们应该做的操作就是买进看跌期权的同时买进股票进行无风险套利。这样操作刚开始付出资金P+5.2，我们来分析下到期时的情况：股票S＞6，看跌期权没用了，卖出股票得到S，损益=S-P-5.2，而S＞6，则S-P-5.2＞6-（P+5.2），而P＜0.8，则6-（P+5.2）＞0,大于0就意味着有收益；股票S＜6，看跌期权有内在价值，将买进的股票通过期权行权卖出去得到资金6元，损益=6-P-5.2=0.8-P＞0，因为P＜0.8。
   前面的计算没有将资金利息算进去，考虑进去的情况如何？这样的套利操作是两买先付出资金，到期时再获得资金。后得到的资金需要折算成现值，代入数据计算，此时的时间价值=P-（6×<Z:\KT2018\180625d1.tif>）=P-0.7656。所以，对于实值看跌期权的理论价格下限为Xe-r×（T-t）-S，低于这个值，就存在无风险套利机会。Xe-r×（T-t）-S其实就是期权的内在价值，如果是实值，这个值大于平值则等于0，虚值则小于0，而只要期权还未到期，时间价值不可能小于0，总结起来，看跌期权的下限则为Xe-r×（T-t）-S和0中的大值者，所以此时P≥max[Xe-r×（T-t）-S，0]。
   边界图
   下图中行权价格X左边表示X＞S，为实值期权，看跌期权价格P的下边界为Xe-r×（T-t）-S，P≥Xe-r×（T-t）-S即为价格合理区间；X右边为虚值期权，虚值期权的价格下限为0,水平轴上方即为价格合理区间。而上限为Xe-r×（T-t），所以图中红色水平线之下为价格合理区间。综上所述，图中斜线部分即为看跌期权的合理报价区间。

   图为看跌期权的上下边界

  期权策略风险具有可把控性

   期权的边界从理论上将，可以让我们去发现市场上是否存在无风险套利机会。但理论终归是理论，就跟B-S模型一样，这里面有一些假设或是忽略条件。而在实际交易中，交易所带来的一切费用成本是必须要考虑进去的，这就会使得实际边界与理论边界之间有个差值。
   期权时间价值除了极端情况不会为负数，对于虚值期权和平值期权而言，由于两者都不存在内在价值，只有时间价值，这个时候的下边界等于0的套利机会实际上是不存在的，因为在交易所的最小价位规定下，虚值期权和平值期权怎么都不可能出现0或是负的价值而越出下边界。事实上，是否只要期权价格在上文图中的上下边界线内就是合理的呢？不一定，当外部条件变了，一种度量标准就不一定再适用于新的情况，理论提供的是一种判断标准，但最终是要服务于实际，我们需要根据实际情况来调整这个期权边界，只要是除却一切交易费用后能够获得无风险收益，那么这个定价就不太合理。
   实际交易中，我们可能会发现，尤其是对于流动性不好的商品期权，深度实值期权会经常接近甚至低于下边界。正常情况下，平值期权的时间价值是最大的，实值期权的时间价值与实值程度成反比，即越实值时间价值一般会越小。通过对白糖期权的观察其实是可以发现深度实值期权有时会在价格跌幅较大时跌出下边界。当然，对于下边界，不一定就是到0或为负了才会出现无风险收益机会。我们知道国内最先推出的期权品种是2015年上线的50ETF期权，当时中信证券由于操作失误报出0.0010的熔断价，这一大幅偏离理论价值的报单被投机埋单促成，立马就获利上万。
   对于看涨期权和看跌期权的上边界，在实际的交易中，期权的价格很难达到上边界，还是拿上文的边界分析中那个例子，现在价格为5.2元的股票，其行权价为5元的看涨期权，理论价格为0.31，因为交易所会规定涨跌停板，即使股票涨停，看涨期权的最高的涨停价格等于5.2×10%+0.31=0.83，远远小于前文假设的6，而且实际中的行权价为5元的看涨其Delta值基本也就在0.5左右，更接近真实情况的会比0.83更小，简单计算下，大约为0.57。这样即使有人出现错报高价也会被交易所认为无效而取消。所以，其实不一定就需要等到期权价格超出边界了才去进行套利操作，只要偏离度达到一定程度，扣除交易费用后能获得的收益风险比很高就可以操作。
   接着文中股票的例子，行权价为5元的看涨期权，假如报价为上边界5.2元的一半2.6元，倒推出来测算的隐含波动率就已经达到248%左右，这么高的隐含波动率就跟股票的超高市盈率一样存在极度溢价。一旦市场上真的有这种高溢价的情况出现，我们就可以进行套利操作。下面的表、图是进行具体卖出看涨备兑策略的情况。从表中的计算中可以看出，对于卖出看涨期权或是买进股票，除非在到期内股价发生超过50%左右的涨跌，卖出看涨期权者才会有损失的风险。再从合成后的损益图中可以看出，只要买进的股票在105天内不跌到2.6以下，卖出该看涨期权者都是有利可图的。当股票涨到5元以上，卖权者会被行权而以5元的价格交出股票，得到收益2.4元，而这个收益也是这个套利策略的最高收益。

   表为卖出看涨备兑可承受股价振幅情况

   图为卖出看涨备兑损益
   讲到这里，想要补充表明的是，在期权交易里，虽然存在无风险套利机会，但是肯定不会太多，而且就算有收益也不会太高。对于那种风险很低收益却很高的风险套利机会，作为一个期权交易者，也应该要把握住，这其中不断锻炼出的敏锐与胆略是一个优秀交易者所必备的品质。期权策略中所面临的风险跟股票、期货风险的不确定性相比，相对而言具有可把控性。这里还涉及一个胜率和收益率的问题，如果有一个高胜率去获得高收益的机会，为什么非要等到无风险套利出现呢？

  关于边界套利的补充思考

   1.通过以上分析可以看出，由于交易所涨停板的规定，期权价格穿破上边界的情况很难发生，但是跌停价一般都设置在很低的位置，比如白糖、豆粕期权的最低价可以到0.5元。那么对于实值期权而言，由于其下边界远高于这个值，跌破下边界发生的情况不能说经常但确实不少。这里我们需要注意的是，因为白糖期权的成交量很小使得买卖价格不连续，双方报价差距很大，如果有卖方觉得现在的隐含波动率很大溢价严重，希望快速获取较高的权利金收入，不惜较大幅度挂低造成实时成交价的大幅下调，但是后续的卖价就不再低于下边界，这样就不适合去套利。
   2.那些坚决看空后市的投资者跟卖出虚值跨式不敢冒太大风险的人不同，他们不但会买入看跌，也会更加倾向于卖出实值期权甚至是深度实值期权。这个时候他们的获利逻辑是可以少赚取一部分时间价值而希望获得更大的内在价值转移利润。这种情况下，卖出期权者可能会以低于理论下边界的价格出售。
   3.按照理论讲，只要期权价格脱离到边界之外，就能进行无风险套利。但是前文已经讲过，我们必须将交易中一切的费用及价差滑点考虑进去。如果这些成本大于套利操作所获得的利润，那么所谓的无风险套利自然就称不上无风险。所以，套利所获得的利润一定要能够覆盖所有的成本，否则放弃。
   4.最后，期权中很多的分析都是基于持有到期的思维逻辑，但是，无论投机者还是套利者，持有一个策略就真的要持有到期吗？可以说，绝大部分时候是不会持有到期的。从动态过程看，方向性投机也好，波动率套利也罢，实现利润就落袋为安才是最踏实的，没有多少人会为了最后的一丁点收益再承受一个月的不确定风险。对于超出边界的错误定价，也不会长久存在，一旦有投资者发现有利可图就会进行套利操作而消除错误定价。
   5.期权理论边界为套利提供了判别基准，为套利的利润空间提供了测算依据，但不管怎样，理论需要付诸实践，实践才会真正去完善理论。所以说，在交易中，边界理论必须根据实际情况进行适合自身情况的修正。